행렬(Matrix) 10. 행렬의 고유값 문제 행렬이 고유값 문제는 다음 형태의 연립방정식과 관련된다. $Ax = \lambda x$ (1) $A$는 정행방렬(2×2,3×3,n×n), $x$, $\lambda$는 구하려는 미지의 벡터, 스칼라 $x=0$, $0=0$ $\lambda$와 관계없이 식(1)을 만족 $\Rightarrow$ 식(1)의 $x \neq 0$인 해, 행렬 $A$의 고유 벡터 $\Rightarrow$ $x \neq 0$인 해, 어떤 특정한 $\lambda$에 대해서만 존재, 이 값을 행렬 $A$의 고유값 식(1)을 푸는 것은 벡터 $x$에 행렬 $A$를 곱하는 것이 벡터 $x$에 스칼라 $\lambda$를 곱하는 것과 같은 영향을 갖는 $x$를 찾는 것 $\Rightarrow$ 얻어지는 스칼라 곱 $\lambda x$는 $x$의 .. 행렬(Matrix) 9. 역행렬을 이용한 연립방정식 풀이 $n$ 개의 미지주 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$에 관한 $m$ 개의 연립방정식 $a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1n} x_{n} = b_{1} $ $a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \cdots + a_{2n} x_{n} = b_{2} $ $a_{m1} x_{1} + a_{m2} x_{2} + \cdots + a_{mn} x_{n} = b_{m} $ $AX = B$ $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots &&& \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots.. 행렬(Matrix) 8. Gauss-Jordan 소거법(행 연산법) ■ Gauss-Jordan 소거법 $n \times n$ 행렬 $A$가 일련의 기본 행연산에 의하여 $n \times n$의 단위행렬 $I$로 변환, $A$는 정칙행렬 $\begin{bmatrix} A | I \end{bmatrix} = \left [ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots &&& \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{matrix} \right | \left . \begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots &&& \vdots \\ 0 &.. 행렬(Matrix) 7. 역행렬 ■ 역행렬 실수계에서 $a$가 $0$이 아닌 실수라면 $ab = ba = 1$인 실수 $b$가 존재, $b$를 $a$의 곱셈역원(multiplicative inverse)이라하고 $a^{-1}$로 표시 $A$를 $n \times n$ 행렬이라 하자. $AB = BA = I$ 인 행렬 $B$가 존재한다면, 행렬 $A$를 정칙 또는 가역행렬이라 한다. 행렬 $B$를 $A$의 역행렬이라 한다. ex) $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ $B=a^{-1}$ $AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{b.. 행렬(Matrix) 6. Cramer 법칙 ■ Cramer 법칙 $\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \cdots + a_{1n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \cdots + a_{2n} x_{n} = b_{2} \\ \vdots \\ a_{n1} x_{1}+ a_{n2} x_{2} + \cdots + a_{nn} x_{n} = b_{n} \end{matrix}$ $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \cdots& \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bm.. 행렬(Matrix) 5. 행렬식의 성질 ■ 행렬식의 성질 1) 전치행렬의 행렬식 $\text{det} A^{T} = \text{det} A$ ex) $A = \begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 3 & -4\end{bmatrix}$, $A^{T} = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 7 & -4\end{bmatrix}$ $\text{det} A = \begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 3 & -4\end{vmatrix} = (5 \times (-4)) - ( 7 \times 3) = -41$ $\text{det} A^{T} = \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 7 & -4\end{vmatrix} = (5 \times (-4)) - ( 3 \times 7) = -41$ 2) 두 개의 같은 행 $n \times.. 행렬(Matrix) 4. 행렬식 ■ 행렬식 : 백터 미적분에서 부피 계산에 사용, 연립방정식 풀이에 사용 행렬 $A$ 를 $m \times n$ 행렬이라고 할때 $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$ $\text{det}A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{vmatrix}$ $m \times n$ 행렬의 행렬식을 $n$ 계의 행렬식이.. 행렬(Matrix) 3. 선형 연립방정식(2) ■ Gauss 소거법 : 연립 방정식의 세가지 경우 1) 해를 무수해 많이 갖는 경우 $ \left[ \left. \begin{matrix} 3.0 & 2.0 & 2.0 & -5.0 & \\ 0.6 & 1.5 & 1.5 & -5.4 & \\ 1.2 & -0.3 & -0.3 & 2.4 & \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 8.0 \\ 2.7 \\ 2.1 \end{matrix} \right ]$ $\Leftrightarrow$ $\begin{matrix} 3.0x_{1} + 2.0x_{2} + 2.0x_{3} - 5.0x_{4} = 8.0 \\ 0.6x_{1} + 1.5x_{2} + 1.5x_{3} - 5.4x_{4} = 2.7 \\ 1.2x_{1} - 0.3x_{2} - .. 행렬(Matrix) 3. 선형 연립방정식(1) ■ 선형 연립방정식 $n$개의 미지수 $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $\cdots$, $x_{m}$을 갖는 $n$개의 연립방정식 \begin{matrix} a_{11} x_{1} + \cdots + a_{1n} x_{n} & = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + \cdots + a_{2n} x_{n} & = b_{2} \\ \vdots & \vdots \\ a_{m1} x_{1} + \cdots + a_{mn} x_{n} & = b_{m} \end{matrix} $x$에 대해 일차식으로 나타나므로 선형 - $b$ 가 모두 0이면 제차 연립방정식, 동차(homogeneous) - $b$ 중 적어도 하나가 0이 아니면 비제차 연립방정식, 비동차(non homogeneous) 연립방.. 행렬(Matrix) 2. 행렬의 연산 ■ 행렬의 덧셈 : 두 행렬 $A$와 $B$가 같은 크기인 경우 그들의 대응 원소를 더함 $A$와 $B$가 $m \times n$ 행렬이면, $A+B = (a_{ij}) + (b_{ij})_{m \times n}$ $A = \begin{bmatrix} -4 & 6 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 5 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ 일때 $A+B = \begin{bmatrix} -4+5 & 6+(-1) & 3+0 \\ 0+3 & 1+1 & 2+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ ■ 행렬의 스칼라 배(스칼라 곱) : 행.. 행렬(Matrix) 1. 정의 ■ 행렬(Matrix) : 행렬 기호가 구조이론을 쉽게 이해하는데 기여, 컴퓨터로 수식을 계산하는데 편리 - 행렬 $A$는 그 크기가 $m \times n$, 즉 행(row)의 수가 $m$개 이며, 열(column)의 수가 $n$개 - 행렬 $A$의 차수(order)는 $m \times n$ - $m \neq n$이면 직사각 행렬, $m = n$이면 정방 행렬 - 정방 행렬 $A$의 $a_{11}$, $a_{22}$, $\cdots$, $a_{mn}$으로 이루어진 대각선을 $A$의 주 대각선(대각원소) $\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 에서 $1$, $4$가 주 대각선 ■ 벡터(Vector) : 단 하나의 행 또는 열로만 이루어진 행렬로 소문자로 표시 $a.. 합계(sigma) 및 라디안(radian) 합계 Σ(시그마) 푸리에 급수 공식 같은 긴 식을 단단히 나타낼 수 있는 방법중 하나인 Σ(시그마)는 덧셈을 표시하는 기호이다(단, 순서에 규칙이 없다면 쓸수 없다.) 예를 몇가지 들어보면, $A = 1+2+3+4+5+6+7$ 이 식을 Σ를 사용해 다시 써보면 다음과 같이 줄어든다. $A = \sum_{n=1}^{7} n$ $B = (x+1)+(x+2)+(x+3)$ $B = \sum_{n=1}^{3} (x+n)$ 또 무한한 공식에 대한 표현도 가능하다. 예를 들면 다음과 같다. $C = Y_{1} + Y_{2} + Y_{3} + ...$ $C = \sum_{n=1}^{\infty} Y_{n}$ 이번엔 Σ를 이용해 푸리에 급수 공식을 나타내면 다음과 같다. $f(t) = a_{0} + a_{1} cos \.. 삼각함수 및 파동 삼각함수란? 직각 삼각형에서 직각이 아닌 각을 선택하고 이각을 $\theta$로 할때 $\theta$에 대한 두변의 비율의 함수이다. $\theta$가 변하면 두변의 기울기도 변한다. 삼각형의 오른쪽 아래에 직각, 왼쪽 아래를 $\theta$로 할때, $\frac {c}{b}$의 비율은 $sin \theta$, $\frac {a}{b}$의 비율은 $cos \theta$, $\frac {c}{a}$의 비율은 $tan \theta$ 라고 한다. 이들은 삼각형의 크기와는 상관없이 $\theta$값에 따라서만 값이 정해진다. sin 함수(파형) 먼저 $\theta$의 변화에 따른 $sin \theta$의 변화를 그래프로 나타내자 간단히 하기 위해서 빗변을 a라 정하자. 그렇게 하면 $\theta$가 늘어나는 상.. 이전 1 다음
