행렬(Matrix) 7. 역행렬

■ 역행렬

    실수계에서 $a$가 $0$이 아닌 실수라면 $ab = ba = 1$인 실수 $b$가 존재, $b$를 $a$의 곱셈역원(multiplicative inverse)이라하고 $a^{-1}$로 표시

    $A$를 $n \times n$ 행렬이라 하자. $AB = BA = I$ 인 행렬 $B$가 존재한다면, 행렬 $A$를 정칙 또는 가역행렬이라 한다. 행렬 $B$를 $A$의 역행렬이라 한다.

    ex) $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$,    $B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$     $B=a^{-1}$

        $AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \times 1 + 1 \times 1 & 2 \times (-1) + 1 \times 2 \\ 1 \times 1 + 1 \times 1 & 1 \times (-1) + 1 \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

 

    ※ 실수계 : 0이 아닌 모든 실수는 곱셈역원을 갖는다.

        행렬 : 0행렬이 아닌 모든 $n \times n$행렬 $A$가 역행렬을 갖는것이 아니다.

    ex) $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$,    $B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}$

        $AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{11} + b_{21} & b_{12} + b_{22} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

            특이행렬 : 역행렬을 갖지 않는 행렬

 

역행렬의 성질, $A$와 $B$가 정칙 행렬

    1) $(A^{-1} )^{1} = A$

    2) $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$

    3) $(A^{T} )^{-1} = (A^{-1} )^{T}$

 

■ 수반행렬(adjoint matrix)

    $A$를 $n \times n$ 행렬이라고 하자. $A$의 원소에 대응하는 여인수로 된 전치행렬을 $A$의 수반행렬이라고 하고 $\text{adj} A$로 표기한다.

        $\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\ \vdots &&& \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}^{T} =\begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots &&& \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}$

 

■ 역행렬 구하기

    $A$가 $n \times n$ 행렬, $A \neq 0$   ($n \ge 4$ 적용하기 어려움)

    $A^{-1} = \left ( \frac{1}{\text{det} A} \right ) \text{adj} A$

    $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$,    여인수 $C_{11} = a_{22}$, $C_{12} = -a_{21}$,  $C_{21} = -a_{12}$,  $C_{22} = a_{11}$

    $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$,    $C_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$,    $C_{12} = -\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}$,    $C_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$

    $A^{-1} = \frac{1}{\text{det} A} \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix}$

 

ex) $2 \times 2$ 행렬

    $A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 10\end{bmatrix}$,    $A^{-1} = \frac{1}{\text{det} A} (\text{adj} A)$

    $\text{det} A = (10 -8) = 2$

    $\text{adj} A = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22}\end{bmatrix}^{T} = \begin{bmatrix} 10 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix}^{T} = \begin{bmatrix} 10 & -4 \\ -2 & 1\end{bmatrix}$

    ∴ $A^{T} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 10 & -4 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 1/2\end{bmatrix}$

    검산

        $AA^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5-4 & -2+2 \\ 10-10 & -4+5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

        $A^{-1} A = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ -1 & 1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5-4 & 20-20 \\ -1+1 & -4+5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

 

ex)  $3 \times 3$ 행렬

    $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,    $A^{-1} = \frac{1}{\text{det} A} (\text{adj} A)$

    $\text{det} A = 2(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 2(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 1\end{vmatrix}$

                    $= 2 \times 1 + (-2)(-2-3) = 2 +10 = 12$

    $\text{adj} A = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12}  & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix}^{T}$

    $C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{vmatrix} =1$,    $C_{12} = -\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 1\end{vmatrix} =5$,    $C_{13} = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} =-3$

    $C_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix} =-2$,    $C_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 0\\ 3 & 1\end{vmatrix} =2$,    $C_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 0\end{vmatrix} =6$

    $C_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1\end{vmatrix} =2$,    $C_{32} = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -2 & 1\end{vmatrix} =2$,    $C_{33} = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 1\end{vmatrix} =6$

     $\text{det} A = \begin{vmatrix} 1 & 5 & -3 \\ -2 & 2 & 6 \\ 2 & -2 & 6 \end{vmatrix}^{T} = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 2\\ 5 & 2 & -2 \\ -3 & 6 & 6 \end{vmatrix}$

    ∴ $A^{-1} = \frac{1}{12} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 2\\ 5 & 2 & -2 \\ -3 & 6 & 6 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1/12 & -1/6 & 1/6 \\ 5/12 & 1/6 & -1/6 \\ -1/4 & 1/2 & 1/2 \end{vmatrix}$

 

※ 역행렬의 존재성

    $A$가 $n \times n$ 행렬일때, $A^{-1}$이 존재할 필요 충분 조건은 $\text{rank} A = n$이고, 따라서 $\text{det} A \neq 0$이다. 따라서 $\text{rank} A = n$이면, $A$는 정치행렬이고 $\text{rank} A < n$이면 특이행렬이다.