행렬(Matrix) 3. 선형 연립방정식(1)

■ 선형 연립방정식

$n$개의 미지수 $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $\cdots$, $x_{m}$을 갖는 $n$개의 연립방정식

\begin{matrix}
a_{11} x_{1} + \cdots + a_{1n} x_{n} & = b_{1} \\
a_{21} x_{1} + \cdots + a_{2n} x_{n} & = b_{2} \\
\vdots & \vdots \\
a_{m1} x_{1} + \cdots + a_{mn} x_{n} & = b_{m}
\end{matrix}      

$x$에 대해 일차식으로 나타나므로 선형

        - $b$ 가 모두 0이면 제차 연립방정식, 동차(homogeneous)

        - $b$ 중 적어도 하나가 0이 아니면 비제차 연립방정식, 비동차(non homogeneous)

 

연립방정식의 행렬 표현

        $Ax = b$

        $A = [a_{ij}]_{m \times n}$

        $A = \begin{bmatrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\
\vdots & & & \vdots \\
a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$,   $x = \begin{bmatrix}
x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots \\
x_{m} \end{bmatrix}$,   $b = \begin{bmatrix}
b_{1}\\
b_{2}\\
\vdots \\
b_{m} \end{bmatrix}$

        첨가행렬 $\tilde{A}$

        $\tilde{A} = \left[ \left. \begin{matrix}
a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1m} \\
a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2m} \\
\vdots & & & \vdots \\
a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mm}
\end{matrix}\right| \begin{matrix}b_{1}\\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m}\end{matrix}
\right ]$

 

연립방정식의 풀이

선형 연립방정식은 다음 기본 연산에 의하여 이와 동치인 연립방정식(즉 같은 해를 갖는 연립 방정식)으로 변환 가능

    (1) 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다.

    (2) 연립 방정식에 있는 방정식의 위치를 바꾼다.

    (3) 한 방정식에 0이 아닌 수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.

Example)

        $2 x_{1} + 6 x_{2} + x_{3} = 7$        - (1)

        $x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = -1$       - (2)

        $5 x_{1} + 7 x_{2} - 4 x_{3} = 9$      - (3)

Solution)

    (1)과 (2)의 위치를 바꾼다.

        $x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = -1$        - (1)

        $2 x_{1} + 6 x_{2} + x_{3} = 7$        - (2)

        $5 x_{1} + 7 x_{2} - 4 x_{3} = 9$        - (3)

    (2)와 (3)의 $x_{1}$을 제거하기 위해 (1) × -2 + (2)

        $x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = -1$        - (1)

                   $2 x_{2} + 3 x_{3} = 9$        - (2)

        $5 x_{1} + 7 x_{2} - 4 x_{3} = 9$        - (3)

    (1) × -5 + (3)

        $x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = -1$        - (1)

                  $2 x_{2} + 3 x_{3} = 9$        - (2)

                  $-3 x_{2} + x_{3} = 14$        - (3)

    (1)과 (3) 방정식에서 $x_{2}$를 소거

        (2) × 1/2

        $x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = -1$        - (1)

                  $x_{2} + \frac{3}{4} x_{3} = \frac{9}{2}$        - (2)

                  $-3 x_{2} + x_{3} = 14$        - (3)

        (2) × -2 +(1)

        $x_{1} \; \; \; \; \; \; \; \; -4 x_{3} = -10$        - (1)

                 $x_{2} + \frac{3}{4} x_{3} = \frac{9}{2}$        - (2)

                 $-3 x_{2} + x_{3} = 14$        - (3)

        (2) × 3 + (3)

        $x_{1} \; \; \; \; \; \; \; \; -4 x_{3} = -10$        - (1)

                 $x_{2} + \frac{3}{4} x_{3} = \frac{9}{2}$        - (2)

                              $x_{3} = 5$        - (3)

    역대입법 적용 : $x_{3} = 5$ 적용 $x_{1}$, $x_{2} $를 구할 수 있다.

        (3) × -3/2 + (2)

        $x_{1} \; \; \; \; \; \; \; \; -4 x_{3} = -10$        - (1)

                  $x_{2} \; \; \; \; \; \; \; \; = -3$        - (2)

                              $x_{3} = 5$        - (3)

        (3) × 4 + (1)

        $x_{1} = 10$

        $x_{2}  = -3$

        $x_{3} = 5$

 

소거법 : Gaussian 소거법, Gauss-Jordan 소거법

행 사다리꼴의 행 동치 첨가행렬을 얻을 때까지 연립방정식의 첨가행렬에서 행 축소

    (1) 0행이 아닌 행에 있어 처음으로 0이 아닌 원소는 1이다.

    (2) 연속하는 0이 아닌 행에서 아래 행의 첫번째 원소 1이 위의 행에 있는 1보다 오른쪽에 나온다.

    (3) 모두 0만으로 이루어진 행들은 그 행렬의 맨 아래에 있다.

    (4) 첫 원소 1을 포함하는 열의 다른 원소는 모두 0이다.

Gauss 소거법과 후치환

        $2x_{1} + 5 x_{2} = 2$

                 $13 x_{2} = -26$

후치환 방법

        $x_{2} = -26/13 = -2$ 를 구한 후 역순으로 첫번째 방정식에 $x_{1}$을 대입한다.

        $2(-2) + 5 x_{2} = 2$          ∴$x_{2} = 6$

        $\begin{bmatrix} 2& 5\\ 0& 13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\ -26\end{bmatrix}$

 

        $2x_{1} + 5x_{2} = 2$          - (1)

        $-4x_{1} + 3x_{2} = -30$     -(2)

        $\begin{bmatrix} 2& 5\\ -4& 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\ -30\end{bmatrix}$

        첨가행렬    $ \left[ \left. \begin{matrix}
2 & 5 & \\
-4 & 3 & \\ 
\end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ -30 \end{matrix} \right ]$

삼각형 형태의 연립방정식을 얻기 위하여, 첫번째 방정식을 그대로 두고 두번째 방정식에서 $x_{1}$ 을 소거한다. (2) × 2 + (1)

        $2x_{1} + 5x_{2} = 2$ - (1)

                   $13x_{2} = -26$ -(2)

        $ \left[ \left. \begin{matrix} 2 & 5 & \\ 0 & 13 & \\ \end{matrix}\right| \begin{matrix} 2 \\ -26 \end{matrix} \right ]$

        $R_{ij}$ : 행 $i$ 와 $j$ 를 서로 바꾼다.

        $CR_{i}$ : $i$ 번째 행에 0이 아닌 상수 $C$ 를 곱한다.

        $CR_{i} + R_{j}$ : $i$ 번째 행에 $C$ 를 곱해서 $j$ 번째 행에 더한다.

 

Example)

    선형 연립방정식

        $x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0 $

        $-x_{1} + x_{2} - x_{3} = 0 $

               $10x_{2} + 25x_{3} = 90 $

        $20x_{1} - 10x_{2}  = 80 $

 

        $ \left[ \left. \begin{matrix}
1 & -1 & 1 & \\ -1 & 1 & -1 & \\ 0 & 10 & 25 & \\ 20 & 10 & 0 & \\ 
\end{matrix}\right| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 90 \\ 80 \end{matrix} \right ]$

    1 단계 : $x_{1}$ 의 소거

        $ \left[ \left. \begin{matrix}
1 & -1 & 1 & \\ -1 & 1 & -1 & \\ 0 & 10 & 25 & \\ 20 & 10 & 0 & \\
\end{matrix}\right| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 90 \\ 80 \end{matrix} \right ]$   $\begin{matrix}
1R_{1} + R_{2}\\
(-20)R_{1} + R_{4}\\
\\ \Rightarrow \end{matrix}$    $ \left[ \left. \begin{matrix}1 & -1 & 1 & \\ 0 & 0 & 0 & \\ 0 & 10 & 25 & \\ 0 & 30 & -20 & \\
\end{matrix}\right| \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 90 \\ 80 \end{matrix} \right ]$        $\begin{matrix}
x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0\\ 0 = 0 \\ 10x_{2} + 25x_{3} = 90\\ 30x_{2} - 20x_{3} = 80\end{matrix}$

    2 단계 : $x_{2}$ 의 소거

        $R_{24}, R_{34}$    $ \left[ \left. \begin{matrix}
1 & -1 & 1 & \\ 0 & 10 & 25 & \\ 0 & 30 & -20 & \\ 0 & 0 & 0 & \\
\end{matrix}\right| \begin{matrix} 0 \\ 90 \\ 80 \\ 0 \end{matrix} \right ]$    $\begin{matrix}
(-3)R_{2} + R_{3}\\  \\ \\ \Rightarrow \end{matrix}$    $ \left[ \left. \begin{matrix}
1 & -1 & 1 & \\ 0 & 10 & 25 & \\ 0 & 0 & -95 & \\ 0 & 0 & 0 & \\
\end{matrix}\right| \begin{matrix} 0 \\ 90 \\ -190 \\ 0 \end{matrix} \right ]$  

    후 치환

        $\left.\begin{matrix} x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0\\ 10x_{2} + 25x_{3} = 90\\ -95x_{3} = -190\\ 0=0 \end{matrix}\right\} \Rightarrow \left.\begin{matrix} x_{3} = 2 \\ x_{2} = 4\\x_{1} = 2 \end{matrix}\right.$