■ 선형 연립방정식
n개의 미지수 x1, x2, x3, ⋯, xm을 갖는 n개의 연립방정식
a11x1+⋯+a1nxn=b1a21x1+⋯+a2nxn=b2⋮⋮am1x1+⋯+amnxn=bm
x에 대해 일차식으로 나타나므로 선형
- b 가 모두 0이면 제차 연립방정식, 동차(homogeneous)
- b 중 적어도 하나가 0이 아니면 비제차 연립방정식, 비동차(non homogeneous)
연립방정식의 행렬 표현
Ax=b
A=[aij]m×n
A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮am1am2⋯amn], x=[x1x2⋮xm], b=[b1b2⋮bm]
첨가행렬 ˜A
˜A=[a11a12⋯a1ma21a22⋯a2m⋮⋮am1am2⋯amm|b1b2⋮bm]
연립방정식의 풀이
선형 연립방정식은 다음 기본 연산에 의하여 이와 동치인 연립방정식(즉 같은 해를 갖는 연립 방정식)으로 변환 가능
(1) 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱한다.
(2) 연립 방정식에 있는 방정식의 위치를 바꾼다.
(3) 한 방정식에 0이 아닌 수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.
Example)
2x1+6x2+x3=7 - (1)
x1+2x2−x3=−1 - (2)
5x1+7x2−4x3=9 - (3)
Solution)
(1)과 (2)의 위치를 바꾼다.
x1+2x2−x3=−1 - (1)
2x1+6x2+x3=7 - (2)
5x1+7x2−4x3=9 - (3)
(2)와 (3)의 x1을 제거하기 위해 (1) × -2 + (2)
x1+2x2−x3=−1 - (1)
2x2+3x3=9 - (2)
5x1+7x2−4x3=9 - (3)
(1) × -5 + (3)
x1+2x2−x3=−1 - (1)
2x2+3x3=9 - (2)
−3x2+x3=14 - (3)
(1)과 (3) 방정식에서 x2를 소거
(2) × 1/2
x1+2x2−x3=−1 - (1)
x2+34x3=92 - (2)
−3x2+x3=14 - (3)
(2) × -2 +(1)
x1−4x3=−10 - (1)
x2+34x3=92 - (2)
−3x2+x3=14 - (3)
(2) × 3 + (3)
x1−4x3=−10 - (1)
x2+34x3=92 - (2)
x3=5 - (3)
역대입법 적용 : x3=5 적용 x1, x2를 구할 수 있다.
(3) × -3/2 + (2)
x1−4x3=−10 - (1)
x2=−3 - (2)
x3=5 - (3)
(3) × 4 + (1)
x1=10
x2=−3
x3=5
소거법 : Gaussian 소거법, Gauss-Jordan 소거법
행 사다리꼴의 행 동치 첨가행렬을 얻을 때까지 연립방정식의 첨가행렬에서 행 축소
(1) 0행이 아닌 행에 있어 처음으로 0이 아닌 원소는 1이다.
(2) 연속하는 0이 아닌 행에서 아래 행의 첫번째 원소 1이 위의 행에 있는 1보다 오른쪽에 나온다.
(3) 모두 0만으로 이루어진 행들은 그 행렬의 맨 아래에 있다.
(4) 첫 원소 1을 포함하는 열의 다른 원소는 모두 0이다.
Gauss 소거법과 후치환
2x1+5x2=2
13x2=−26
후치환 방법
x2=−26/13=−2 를 구한 후 역순으로 첫번째 방정식에 x1을 대입한다.
2(−2)+5x2=2 ∴x2=6
[25013][x1x2]=[2−26]
2x1+5x2=2 - (1)
−4x1+3x2=−30 -(2)
[25−43][x1x2]=[2−30]
첨가행렬 [25−43|2−30]
삼각형 형태의 연립방정식을 얻기 위하여, 첫번째 방정식을 그대로 두고 두번째 방정식에서 x1 을 소거한다. (2) × 2 + (1)
2x1+5x2=2 - (1)
13x2=−26 -(2)
[25013|2−26]
Rij : 행 i 와 j 를 서로 바꾼다.
CRi : i 번째 행에 0이 아닌 상수 C 를 곱한다.
CRi+Rj : i 번째 행에 C 를 곱해서 j 번째 행에 더한다.
Example)
선형 연립방정식
x1−x2+x3=0
−x1+x2−x3=0
10x2+25x3=90
20x1−10x2=80
[1−11−11−10102520100|009080]
1 단계 : x1 의 소거
[1−11−11−10102520100|009080] 1R1+R2(−20)R1+R4⇒ [1−1100001025030−20|009080] x1−x2+x3=00=010x2+25x3=9030x2−20x3=80
2 단계 : x2 의 소거
R24,R34 [1−1101025030−20000|090800] (−3)R2+R3⇒ [1−110102500−95000|090−1900]
후 치환
x1−x2+x3=010x2+25x3=90−95x3=−1900=0}⇒x3=2x2=4x1=2
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