행렬(Matrix) 1. 정의

 

■ 행렬(Matrix) : 행렬 기호가 구조이론을 쉽게 이해하는데 기여, 컴퓨터로 수식을 계산하는데 편리

 

 

- 행렬 $A$는 그 크기가 $m \times n$, 즉 행(row)의 수가 $m$개 이며, 열(column)의 수가 $n$개

- 행렬 $A$의 차수(order)는 $m \times n$

- $m \neq n$이면 직사각 행렬, $m = n$이면 정방 행렬

- 정방 행렬 $A$의 $a_{11}$, $a_{22}$, $\cdots$, $a_{mn}$으로 이루어진 대각선을 $A$의 주 대각선(대각원소)

        $\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 에서 $1$, $4$가 주 대각선

 

■ 벡터(Vector) : 단 하나의 행 또는 열로만 이루어진 행렬로 소문자로 표시 $a$, $b$, $c$, $\cdots$ 또는 $a = [a_{i}]$

- 행 벡터, $a = [a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}]$, $1 \times n$ 행렬

- 열 벡터, $b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix}$, $m \times 1$ 행렬

 

● 정방 행렬 : 행과 열의 수가 같은 행렬

        $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & & & a_{2n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

● 대각 행렬 : 주 대각선을 제외한 모든 원소가 $0$인 행렬

        $A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 &  a_{22} & & 0 \\ \vdots & & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

● 단위 행렬 : 주 대각선 원소값이 $1$이고 나머지 원소가 $0$인 행렬, 기호로 $E$ 또는 $I$로 표현

        $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & & 0 \\ \vdots & & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

        $AI = IA = A$

        $I^{n} = I$

● 전치 행렬 : $m \times n$인 본래의 행렬 $A_{m \times n}$ 에서 행과 열을 서로 바꾼($n \times m$) 행렬

        $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & & & a_{2n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$,    $A^{T} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & & & a_{m2} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nm} \end{bmatrix}$

        주 대각선은 고정, 주 대각선을 기준으로 Mirror

● 대칭 행렬 : 주 대각선에 대해 모든 요소가 대칭인 정방 행렬, 전치해도 동일. $a_{ij} = a{ji}$

        $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 &  2 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \end{bmatrix} = A^{T}$

● 역 대칭 행렬 : 주 대각선에 대해 모든 요소가 대칭이지만 부호가 반대인 정방 행렬

        $a_{ij} = - a_{ji}$

● 삼각 행렬 : 주 대각선의 위 또는 아래 어느 한쪽의 모든 요소가 $0$인 정방 행렬

        $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}& a_{14} \\ 0 & a_{22} &  a_{23}& a_{24} \\ 0 & 0&  a_{33}&  a_{34}\\ 0 & 0 & 0& a_{44} \end{bmatrix}$,    $A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0&0 \\ a_{21} & a_{22} & 0& 0 \\ a_{31} & a_{32} &  a_{33} & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix}$

● 영 행렬 : 모든 요소가 $0$인 행렬

        $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

● 행렬의 상등 : 두 $m \times n$ 행렬 $A$와$B$에서 각 $i$, $j$에 대해 $a_{ij} = b_{ij}$ 이면 $A$, $B$는 같다.