삼각함수 및 파동

삼각함수란?

직각 삼각형에서 직각이 아닌 각을 선택하고 이각을 $\theta$로 할때 $\theta$에 대한 두변의 비율의 함수이다. $\theta$가 변하면 두변의 기울기도 변한다.

삼각형의 오른쪽 아래에 직각, 왼쪽 아래를 $\theta$로 할때, $\frac {c}{b}$의 비율은 $sin \theta$, $\frac {a}{b}$의 비율은 $cos \theta$, $\frac {c}{a}$의 비율은 $tan \theta$ 라고 한다. 이들은 삼각형의 크기와는 상관없이 $\theta$값에 따라서만 값이 정해진다.

sin 함수(파형)

먼저 $\theta$의 변화에 따른 $sin \theta$의 변화를 그래프로 나타내자 간단히 하기 위해서 빗변을 a라 정하자.

그렇게 하면 $\theta$가 늘어나는 상태를 반지름이 b(빗변)인 원 위에서 생각할 수 있다.

$sin \theta = \frac{c}{b}$ → $b sin \theta$

즉 $\theta$의 변화에 따르는 $sin \theta$의 값은, 세로변의 변화이므로 각도 변화에 따른 세로변을 그래프로 나타낼 수 있다.

즉 파동을 수직으로 나타내려면 $sin \theta$를 이용한다.

함수 형태로 나타내면 $f(\theta)=sin \theta$가 되며,

특정 진폭 사이를 진동하는 파동은 $f(\theta)=b sin \theta$로 표현할 수 있다.

주기/주파수/각속도(고유진동수)

여기서 $sin \theta$의 그래프가 시간에 따라 변화할때, 즉 빗변(반지름, b)이 시계바늘처럼 일정한 속도로 돈다고 생각하고 시계에 적용하면

-초침 : 1분 동안 한 바퀴(1분 주기)

-분침 : 1시간 동안 한 바퀴(1시간 주기)

-시침 : 12시간 동안 한 바퀴(12시간 주기)

이처럼 시간에 따라 진동하는 파동의 경우

- 파동이 한번 진동하는 데 걸리는 시간을 주기(T)라고 하며 단위는 sec(초)이다.

-1초 동안 진동하는 파동의 횟수는 주파수(f)라고 하며 단위는 Hz이다.

따라서, 주기(T)와 주파수(f)의 관계는 다음과 같다.

$T = \frac{1}{f}$, $f = \frac{1}{T}$

수평축을 t로 두었으니 이제 $\theta$의 함수가 아니며, 앞에서 구한 파동을 나타내는

수식($f(\theta) = a sin \theta$)에서 a를 변경하면 진폭이 바뀐다.

바늘이 도는 빠르기, 즉 각속도($\omega$)는 다음과 같다.

$\omega = \frac{\theta}{t}$

이 각속도($\omega$)를 사용하여 여러 속도로 회전하는, 즉 여러 속도로 진동하는 파동을 식으로 나타 낼 수 있다.

그러면 다시 한번 주기(T), 주파수(f), 각속도($\omega$)의 관계를 살펴보면

T(sec)	1/4	1/3	1/2	1	2	3
f(Hz)	4	3	2	1	1/2	1/3
ω(deg/sec)	1440	1080	720	360	180	120

 

각속도($\omega$)는 1초에 진동하는 파동의 횟수(f)에 1회분인 360deg를 곱한 것이므로 다음 식을 이용할 수 있다.

$\omega = 360\times f = 360 \times \frac{1}{T}$

파동에 관한식 $f(t) = a \times sin \omega \times t$을 사용하여 여러가지 파동을 만들수 있으며, 그것들을 합해 복잡한 파동을 수식으로 만들수 있다.

위의 A 그래프는 주파수 1Hz 진폭 20, B 그래프는 주파수 2Hz 진폭 25, C 그래프는 주파수 4Hz 진폭 13, D 그래프는 주파수 8Hz 진폭 16의 파동을 나타낸 것이다.

A 에서 D 그래프의 파동을 합하면 E와 같은 그래프를 얻을 수 있으며, 식으로 나타내면 다음과 같다.

$f(t) = 20 \times sin 360t + 25 \times sin 720t + 13 \times sin 1400t + 16 \times sin 2880 t$

위식을 일반화된 식으로 표현하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$f(t) = a_{1} \times sin \omega_{1}t + a_{2} \times sin \omega_{2}t + a_{3} \times sin \omega_{3}t +...+ a_{n}\times sin \omega_{n} t$

파동 합의 질서

복잡하지만 주기적인 파동, 그리고 그 근원인 단순한 파동을 다시 한번 관찰해보자.

E의 파동은 0.5초마다 같은 형태를 되풀이하므로 기본 주기는 0.5sec, 기본 주파수는 2Hz이다. E를 이루는 파동 A, B, C, D를 보면 전부 0.5초마다 같은 형태를 반복하고 있다.

만일, 기본 주파수가 2Hz일때, 단 하나라도 0.5초마다 반복되지 않는 파동이 있으면 파동이 합쳐졌을때 복잡한 파동은 0.5초마다 같은 형태를 반복 할 수 없다.

즉, 0.5초 사이에 한번, 두번, 세번,... 이렇게 진동하는 파동을 더한다면 제아무리 많은 파동을 더해 복잡한 파동을 만든다해도, 그 파동은 반드시 0.5초마다 같은 형태를 반복하게 된다.

또한, 0.5초 마다 같은 형태를 반복하는 것은 기본 주파수 2Hz의 정수배인 주파수(2, 4, 6, 8, ...)의 파동뿐이다.

만일 위의 D 그래프에서 각속도($\omega$)를 변화 시킨다면 아래 그래프와 이 기본주파수의 정수배가 아닌 7Hz의 파동이 더해진 경우 합해진 파동 E는 0.5초에서 반복하지 않음을 확인할 수 있다.

이들 파동의 각속도($\omega$)를 구해보면, 각속도를 구하는 공식 $\omega = 360 \times f$ 이므로

1) 0.5초에 한번 진동하는 파동(1초에 두번 진동) : $\omega = 360 \times 2 = 720 deg/sec$

2) 0.5초에 두번 진동하는 파동(1초에 네번 진동) : $\omega = 360 \times 4 = 1,440 deg/sec$ : 1)의 2배

3) 0.5초에 세번 진동하는 파동(1초에 여섯번 진동) : $\omega = 360 \times 6 = 2,160deg/sec$ : 1)의 3배

 위와 같이 주파수는 기본 파동의 주파수의 정수배(2Hz의 2배(4Hz), 3배(6Hz), ...)이고, ω도 기본 파동의 ω의 정수배이다.

주기적인 파동은 아무리 복잡해도, 기본 주파수가 정수배인 주파수의 파동들로 이루어져 있다. 즉, 진동하는(회전하는)속도가 1배, 2배, ... 하는 식으로 정수배의 속도가 된다. 그러므로 기본 파동의 각속도를 $\omega$(1$\omega$)라 하면 합쳐져있는 파동의 각속도도 2$\omega$, 3$\omega$, ... 처럼 정수배로 되어 있다는 것이다.

이러한 질서를 복잡한 파동을 나타내는 위의 식에 대입하면,

$f(t) = a_{1} sin \omega_{1} t + a_{2} sin \omega_{2} t + a_{3} sin \omega_{3} t + ... + a_{n} sin \omega_{n} t$

→ $f(t) = a_{1} sin \omega_{1} t + a_{2} sin \: 2\omega t + a_{3} sin \: 3\omega t + ... + a_{n} sin \: n\omega t$

이렇게 단순한 사인 파동을 거듭 더하다 보면 복잡한 파동이 되며, 그것을 수식으로 나타낼 수 있다.

 

cos 함수(파형)

삼각함수에서 $sin \theta = \frac{세로}{빗변}$, $cos \theta = \frac{가로}{빗변}$ 이다. 

그럼 $\theta$의 변화에 따른 값의 변화를 그래프로 나타내면

 

빗변을 a로 두고, $\theta$가 늘어나는 모습을 반지름 a인 원 위에서 생각한다.

$cos \theta = \frac{가로}{a}$, $a cos \theta = 가로$ 이다.

$\theta$가 늘어날 때마다 가로 변이 어떻게 변해가는가를 그래프로 나타내면 아래 그림과 같다.

 

그래프를 옆으로 회전하면, $sin \theta$ 그래프를 90도 만큼 왼쪽으로 이동한 것과 같다.

$\theta$에 따른 변화를 수식으로 나타나면 다음과 같다.

$f(\theta) = a \: cos \theta$

사인 파동 때처럼, 가로 폭이 다양한 코사인 파동으로 나타내면, (파동이 진동하는 속도)=(각속도가 증가하는 속도)

이것을 수식으로 바꾸면 sin에서와 같이 $\theta = \omega t$ 였으므로 $f(\theta) = a \: cos \theta$에 대입하면 아래와 같이 시간의 함수로 바뀐다.

$f(t) = a \: cos \omega t$

이제 a 나 $\omega$에 원하는 값을 넣으면 다양한 진폭, 다양한 주파수의 코사인 파동을 만들수 있다.

그리고 $\omega$에 대해서도, sin 파동일 때와 같은 질서가 있다. 즉 0부터 시작하지 않는 것뿐이지, 복잡한 파동 E는 기본 주파수가 2Hz로, 0.5초마다 같은 패턴을 반복하고 있다. 여기에서 기본 주파수의 정수배인 주파수의 단순한 파동만이 더해져 있다는 걸 알 수 있다.

이 질서를 더해 기본 각속도를 $\omega$로 두고, 다양한 코사인 파동의 합으로 이루어진 복잡한 파동을 식으로 만들수 있으며 아래와 같다.

$f(t) = a_{1} cos \: \omega t + a_{2} cos \: 2 \omega t + a_{3} cos \: 3 \omega t +...+ a_{n} cos \: \omega t$

여기에서 우리는 다음을 가정할 수 있다.

0부터 시작하는 사인 파동의 합으로 이루어진 복합 파동 + 0이외에서 시작하는 파동도 나타낼 수 있는, 코사인 파동의 합으로 이루어진 복합 파동 = 궁극의 복합 파동

이 결과를 식으로 나타내면 다음과 같다.

$f(t) = a_{1} cos \: \omega t +b_{1} sin \: \omega t +  a_{2} cos \: 2 \omega t + b_{2} cos \: 2 \omega t +...+ a_{n} cos \: \omega t + b_{n} cos \: \omega t$

$a_{1}$과 $b_{1}$, $a_{2}$와 $b_{2}$,..., $a_{n}$, $b_{n}$의 파동은 주파수가 같은 것이다.

사인과 코사인 파동을 합치는 경우

위의 그림과 같이 사인 파동과 코사인 파동을 합치면 중간부터 시작하는 파동을 나타 낼 수 있다. 따라서 사인 파동만으로 이루어져 있을 때는 사인 파동만을, 코사인 파동만으로 이루어져 있을 때는 코사인 파동만을 그리고 도중의 파동부터 시작되고 있을 때는 사인 파동과 코사인 파동을 합하면 된다.

 

다양한 파동을 나타내기 위한 $a_{0}$ 사용

지금까지 나온건, 사인 파동이건 코사인 파동이건 간에 언제나 '0을 중심으로 진동하는 파동', 즉 1과 -1와 5와 -5 사이를 진동하는 식의 규칙적인 파동뿐이다. 이래서는 5와 -2 사이나 10과 3 사이를 진동하는 '치우친 파동'은 타나낼 수 없다.

0을 중심으로 진동하는 파동은 아무리 합쳐봤자 결국 0을 중심으로 진동하는 파동에 지나지 않는다.

치우친 파동을 표현하기 위해서, 다음 두 가지 파동이 있다.

1) 2와 -2 사이를 진동하는 파동

2) 0을 중심으로 진동은 커녕 움직임 조차 보이지 않는 3만 쭉 이어지는 파동

위의 두 파동을 합치면, 3) 3을 중심으로 진폭 2를 가지고 진동 하는 파동이 된다. 

 즉 전체의 높이가 3만큼 올라갔다. 이것을 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$f(t) = 3+sin \: \omega t$

 - 전체가 a만큼 올라간 $b_{1} sin \: \omega t$의 파동이라면

$f(t) = a + b_{1} sin \: \omega t$ 

- 전체가 a만큼 내려간 $b_{1} sin \: \omega t$의 파동이라면

$f(t) = -a + b_{1} sin \: \omega t$

- 올라가지도 내려가지도 않았다면 a는 0이다 즉,

$f(t) = 0+b_{1} sin \: \omega t = b_{1} sin \: \omega t$

이와 같은 사실을 앞에서 사인과 코사인 파동을 합한 식에 적용하면 다음과 같은 식이 된다.

$f(t) = a_{0} + a_{1} cos \: \omega t + b_{1} sin \: \omega t + a_{2} cos \: 2 \omega t + b_{2} sin \: 2 \omega t + ... + a_{n} cos \: n \omega t + b_{n} sin \: n omega t$

(a를 그대로 두면 코사인 진폭과 혼동할 위험이 있으니 $a^{0}$로 표기하기로 하자.)

위 식은 파동을 보는 방법이자 개념이며, 이것을 푸리에 급수 공식이라 한다.