합계(sigma) 및 라디안(radian)

합계 Σ(시그마)

푸리에 급수 공식 같은 긴 식을 단단히 나타낼 수 있는 방법중 하나인 Σ(시그마)는 덧셈을 표시하는 기호이다(단, 순서에 규칙이 없다면 쓸수 없다.)

예를 몇가지 들어보면, $A = 1+2+3+4+5+6+7$ 이 식을 Σ를 사용해 다시 써보면 다음과 같이 줄어든다.

$A = \sum_{n=1}^{7} n$

$B = (x+1)+(x+2)+(x+3)$

$B = \sum_{n=1}^{3} (x+n)$

또 무한한 공식에 대한 표현도 가능하다. 예를 들면 다음과 같다.

$C = Y_{1} + Y_{2} + Y_{3} + ...$

$C = \sum_{n=1}^{\infty} Y_{n}$

이번엔 Σ를 이용해 푸리에 급수 공식을 나타내면 다음과 같다.

$f(t) = a_{0} + a_{1} cos \: \omega t + b_{1} sin \: sin \omega t + a_{2} cos \: 2 \omega t + b_{2} sin \: \omega t + a_{3} cos \: 3 \omega t + b_{3} sin \: 3 \omega t + ...$

→$f(t) = a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} cos \: n \omega t + b_{n} sin \: n \omega t )$

 

라디안(호도법)

360˚, 즉 완전한 원의 각이다. 이 360˚를 다른 방식으로 나타낼 것이다.

 

원의 반지름 r과 같은 길이의 원주길이 만큼 이루는 각을 1라디안(radian)이라고 한다. (1라이단은 약 57.2958도)

그렇다면 원주는 몇 라디안일까?(원 하나에 몇라디안이 들어가는지 세어보면 된다.)

이는 반지름 r의 호의 길이가 원호에 몇개나 들어가나를 구하는 것이므로 즉, 원주의 길이를 구하면, 원주가 호의 길이 r 몇개로 이루어졌는지알게 된다는 애기다.

그러므로 반지름 r로 원주를 나누면 원의 중심각이 몇 라디안인지 정확히 알 수 있다. 원주의 공식은 원의 지름에 π를 곱하는 것이므로 원주는 2πr 이다.

 그리고 한 원주에서 라디안의 수는 원주 / r 이었으니까 $\frac{2\pi r}{r} = 2\pi r$

한 원주 360˚는 2π 라디안이다. 즉, 360˚ = 2π 라디안

이제 360˚를 다른 방식으로 표기할 수 있게 됐으니 각속도를 다르게 표현하면

$\omega = 360 \times \frac{1}{T}$,

$\omega = \frac{2 \times \pi}{T}$

이것은 기본 주파수를 갖는 파동의 각속도를 라디안으로 나타낸 것이다.

푸리에 급수 공식을 라디안으로 표시하면

$f(t) = a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} cos \: n \omega t + b_{n} sin \: n \omega t)$

→ $f(t) = a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} cos \frac{2 \pi n}{T} t + b_{n} sin \frac{2 \pi n}{T}t$

위 두 공식은 표현방식이 다를뿐, 완전히 같다.