■ 행렬식의 성질
1) 전치행렬의 행렬식
$\text{det} A^{T} = \text{det} A$
ex) $A = \begin{bmatrix} 5 & 7 \\ 3 & -4\end{bmatrix}$, $A^{T} = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 7 & -4\end{bmatrix}$
$\text{det} A = \begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 3 & -4\end{vmatrix} = (5 \times (-4)) - ( 7 \times 3) = -41$
$\text{det} A^{T} = \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 7 & -4\end{vmatrix} = (5 \times (-4)) - ( 3 \times 7) = -41$
2) 두 개의 같은 행
$n \times n$ 행렬의 임의의 두 행(두 열)이 같으면 $\text{det} A = 0$
ex) $A = \begin{bmatrix} 6 & 2 & 2 \\ 4 & 2 & 2 \\ 9 & 2 & 2 \end{bmatrix}$
$\text{det} A = 6(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2\end{vmatrix} + 2(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 9 & 2\end{vmatrix} + 2(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 9 & 2 \end{vmatrix}$
$= 6(2 \times 2 -2 \times 2) + (-2)(4 \times 2 - 2 \times 9) + 2(4 \times 2 - 2 \times 9 )$
$= 0 -20 + 20 =0 $
3) 영 행 또는 영 열
$n \times n$ 행렬의 행(열)에 있는 모든 원소가 0이면 $\text{det} A = 0 $
ex) $\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 7 & -6\end{vmatrix} = 0$, $\begin{vmatrix} 4 & 6 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \\ 8 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0$
4) 행의 바꿈
$B$가 $n \times n$ 행렬 $A$의 임의의 두 행(또는 두 열)을 서로 바구어 얻은 행렬이라면 $\text{det} B = - \text{det} A$
ex) $A = \begin{bmatrix} 4 & -1 & 9 \\ 6 & 0 & 7 \\ 2 & 1 & 3\end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 6 & 0 & 7 \\ 4 & -1 & 9\end{bmatrix}$
$\text{det} A = a_{21} C_{21} + a_{22} C_{22} + a_{23} C_{23}$
$= 6(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -1 & 9 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 7(-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1\end{vmatrix}$
$= (-6)(-3-9) + (-7)(4+2)$
$= 72 - 42 = 30$
$\text{det} B = 6(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 9 \end{vmatrix} + 7(-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -1\end{vmatrix}$
$= (-6)(9+3) + (-7)(-2-4)$
$= -72 + 42 = -30$
∴ $\text{det} B = -\text{det} A$
5) 행의 상수배
$B$가 $n \times n$ 행렬 $A$의 한 행(또는 열)에 0이 아닌 실수 $k$를 곱하여 얻어진 행렬이라면, $\text{det} B = k \text{det} A$
$\text{det} B = k a_{i1} C_{i1} + k a_{i2} C_{i2} + \cdots + k a_{in} C_{in}$
$= k \left ( a_{i1} C_{i1} + a_{i2} C_{i2} + \cdots + a_{in} C_{in} \right ) = k \text{det} A$
ex)
a) $\begin{vmatrix} 5 & 8 \\ 20 & 16 \end{vmatrix}$
$= (5 \times 16 - 8 \times 20) = 80 -160 = -80$
º $5 \begin{vmatrix} 1 & 8 \\ 4 & 16 \end{vmatrix}$ 1열에 ×5
$= 5(1 \times 16 - 8 \times 4) = 5(16-32) = -80$
º $5 · 8 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}$ 2열에 ×8
$= 40(1 \times 2 - 1 \times 4) = -80$
º $5 · 8· 2 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 80(1 -2 ) = -80$
b) $\begin{vmatrix} 4 & 2 &-1 \\ 5 & -2 & 1 \\ 7 & 4 & -2\end{vmatrix} = (-2)\begin{vmatrix} 4 & 1 &-1 \\ 5 & -1 & 1 \\ 7 & 2 & -2\end{vmatrix} = (-2)(0) = 0$
두 행이 같으므로 0
6) 행렬곱의 행렬식
$A$, $B$가 $n\times n$ 행렬 $\text{det} AB = \text{det} A \cdot \text{det} B$
행렬의 곱의 행렬식은 행렬식의 곱과 같다.
ex) $A = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 1 & -1\end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ -3 & 5\end{bmatrix}$ 라면
$AB = \begin{bmatrix} 2 \times 3 + 6 \times (-3) & 2 \times (-4) + (6 \times 5) \\ 1 \times 3 + (-1) \times (-3) & 1 \times (-4) + (-1) (5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -12 & 22 \\ 6 & -9\end{bmatrix}$
$\text{det} AB = \begin{vmatrix} -12 & 22 \\ 6 & -9 \end{vmatrix} = (-12)(-9) - (22)(6) = 108-132=-24$
$\text{det} A = \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (6)(1) = -2-6=-8$
$\text{det} B= \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} = (3)(5) - (-4)(-3) = 15-12=3$
∴ $\text{det} A \cdot \text{det} B = (-8)(3) = -24 = \text{det} AB$
7) 행렬식은 변하지 않는다.
$B$가 $n \times n$ 행렬 $A$의 한 행 또는 열의 원소에 0이 아닌 실수 $k$를 곱하고 이 결과를 다른 행 또는 열의 대응하는 원소에 더하여 얻은 행렬이라면 $\text{det} B = \text{det} A$
ex) $A = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 7 \\ 4 & -1 & 4\end{bmatrix}$ 라고 하고 $B$는 $A$에 의해 얻어진다고 가정
$\text{det} A = 3(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} + 7(-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 4 & -1\end{vmatrix}$
$= -3(4+2) + (-7)(-5-4)$
$= -18-63 = 45$
$A = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 7 \\ 4 & -1 & 4\end{bmatrix}$ $\begin{matrix} -3R_{1} + R_{3} \\ \Rightarrow \end{matrix}$ $ \begin{bmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 7 \\ -11 & -4 & -2\end{bmatrix} = B$
$\text{det} B = 3 (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -4 & -2\end{vmatrix} + 7(-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ -11 & -4\end{vmatrix}$
$= (-3)(-2+8) + (-7)(-20 +11) = -18 + 63 = 45$
8) 삼각행렬의 행렬식
$A$를 $n \times n$ 삼각행렬(상삼각 또는 하삼각) 이라면 $\text{det} A = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$ → 주 대각선상의 원소
ex) $A = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$
$\text{det} A = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & 0 \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} ( a_{22} a_{33} - 0 \cdot a_{32}) $
$= a_{11} a_{22} a_{33}$
ex) $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 \\ 5 & 9 & -4 & 0 \\ 7 & 2 & 4 & -2 \end{bmatrix}$
$\text{det} A = a_{11} \begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 6 & 0 & 0 \\ 5 & 9 & -4 & 0 \\ 7 & 2 & 4 & -2 \end{vmatrix}$
$= 3(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 9 & -4 &0 \\ 2 & 4 &-2 \end{vmatrix}$
$= 3(6) [(-4)(-2) - 0 \times 4 ] = (3)(6)(-4)(-2) = 144$
ex) 대각행렬 $A = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$
$\text{det} A = (-3) (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = (-3)(6)(4) = -72$
※ 행 축소 : 행렬의 차원이 커지면 계산이 어려움. 행렬식의 성질을 이용하여 행축소 → 계산 용이
ex) $A = \begin{bmatrix} 6 & 2 & 7 \\ -4 & -3 & 2 \\ 2 & 4 & -8 \end{bmatrix}$
$\text{det} A = \begin{vmatrix} 6 & 2 & 7 \\ -4 & -3 & 2 \\ 2 & 4 & -8 \end{vmatrix}$
$= 2 \begin{vmatrix} 6 & 2 & 7 \\ -4 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix}$ 2는 3행의 공동인수(행렬의 상수배)
$= -2 \begin{vmatrix} 6 & 2 & 7 \\ -4 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix}$ 1행과 3행 교환($\text{det} B = -\text{det} A)$
$= -2 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 5 & 18 \\ 6 & 2 & 7 \end{vmatrix}$ $R_{1} \times 4 + R_{2}$
$= -2 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 5 & 18 \\ 0 & -10 & -17 \end{vmatrix}$ $R_{1} (6) + R_{3}$
$= -2 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 5 & 18 \\ 0 & 0& 19 \end{vmatrix}$ $R_{2} (2) + R_{3}$
$= (-2)(1)(5)(19) = -190$
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