차량 충돌하중 산정 : 가속도-시간 모델

DYNAMICS OF VEHICLE COLLISION(R.H. Macmillan, 1983)

R.H. Macmillan(1983)은 차량의 충돌과정을 수치해석적인 방법으로 설명하려는 일련의 방식에서 탈피하여 충돌과정 전체에 대한 설명이 가능한 해석적인 모델을 제시함으로서 충돌과정에 대한 직관적인 이해를 가능하게 하였다. 이 방법은, 자동차의 안전성 확인을 위한 충돌실험 결과, 차량의 감가속도, 속도, 변형(Crush) 기록이 아주 일반적인 특징을 갖고 있다는데 착안하여 이 특징을 반영하는 가속도-시간 모델을 제안하여 충돌의 전 과정을 설명한 것이다.

이 모델은 강체벽 충돌 실험으로부터 충돌차량의 최종변형($s_{2}$), 충돌지속시간($t_{2}$) 및 반발속도($v_{2}$)의 세 가지 파라메터를 계측하여 알고 있다는 가정하에서 사용 가능하다. 따라서, 가속도-시간 모델은 세 가지 파라메터를 위한 실험결과가 필요하다는 면에서 실험과 이론이 절충된 모델이라고 할 수 있다.

그러면 이 모델의 유용성은 어디서 찾을 수 있는가? 비교적 간단한 세 가지 파라메터의 계측만으로도 시간대별 충돌 상황을 계측값과 별 차이 없이 자세히 알 수 있다는 것이 이 모델의 장점이다. 또한, 시뮬레이션이나 실측된 가속도의 경우, 속도 및 차체 변형의 시간이력을 구하기 위하여 수치적분이 필요하나, 가속도-시간 모델의 경우에는 가속도의 시간이력이 적분 가능한 함수로 표시되므로 속도 및 차체변형의 시간이력도 해석적인 시간함수로 나타낼 수 있다는 점이다. 마지막으로 가속도-시간 모델로부터 구한 가속도-시간, 속도-시간, 변형-시간 관계는 모두 해석이 가능한 함수이기 때문에 계측 혹은 복잡한 시뮬레이션으로부터 얻은 것과 달리 그래프의 급격한 파형이 없이 완만하여 전체적인 경향을 파악하기에 절대 유리하다.

이 방법은 차체 설계를 위하여 제안되었으나 그대로 안전 시설물의 설계에 이용될 수 있다. 안전 시설물의 설계에는 충돌하중의 크기와 탑승자의 안전도를 계산할 수 있는 가속도의 시간이력이 기본적으로 사용되기 때문에 가속도-시간 모델을 이용하면 차체의 국부적인 변형상태 등을 나타내는 3D 시뮬레이션이나 수많은 계측센서를 부착한 고가의 충돌실험이 없이도 안전시설의 기본 설계가 가능하다.

 

가속도-시간 모델

일반적으로 차량의 베리어에 대한 충돌시 거동은 그림 1의 실선과 같은 가속도 기록으로 나타낼 수 있다. 측정된 가속도의 형태는 그림과 같이 복잡한 파형으로 이루어져 있지만, 가속도를 적분하여 구한 속도의 경우 기복은 줄어들고, 변형의 경우 매우 완만한 형태로 나타난다. 충돌 과정 동안 차량의 전체적인 거동을 살펴보기 위하여 측정된 실제 가속도와 속도, 변형 곡선을 그림 1의 점선과 같이 이상화하여 나타낼 수 있는데, 점선으로 이상화된 가속도 시간이력이 가속도-시간 모델 (Acceleration-Time Model, R.H. Macmillan)(1983) 이다.

그림 1. 차량 정면 충돌시 차량의 가속도, 속도 및 변형 시간이력 예

이 모델은 충돌시 차량의 거동을 해석적인 방법으로 나타내기 의하여 다음의 조건을 만족시킨 것이다.

       -.수치적으로 조작이 가능한, 간단한 형태의 곡선이어야 한다.

       -.충돌 시작점과 끝점의 경계조건을 만족하여야 한다.

       -.실제 실험값에 근접한 결과를 주어야하며, 실험값이 없는 경우 확신을 갖고 쓸 수 있어야 한다.

       -.최소의 파라메터로 다양한 차량의 충돌 특성(Crushing Characteristic)을 반영할 수 있어야 한다.

가속도-시간 모델에서 아래첨자 1은 시작점을 의미하며, 아래첨자 2는 충돌의 종점을 의미하고 가속도는 $f$로 나타내기로 한다. 그래프에서의 변수는 가속도가 최대가 되는 점을 $-f_{m}$ 으로 하며, 이때의 시간을 $t_{m}$으로 정의하고, 충돌시 속도가 0이 될 때의 시간을 $t_{0}$ , 이때의 변형을 $s_{0}$라 한다. 또한 가속도가 0가 되는 시간은 $t_{2}$로 나타내고, 이때의 변형은 $s_{2}$로 정의한다.

가속도 곡선의 경계 조건은 다음과 같다.

충돌 초기 상태의 경계 조건 :

       $t = t_{1} = 0$, $v=v_{1}$ ,

       $s=s_{1} = 0$, $f = f_{1} = 0$ 

충돌 종점에서의 경계 조건 :

       $t = t_{2}$, $v= v_{2} = -e v_{1}$ ,

       $s = s_{2}$, $f = f_{2} = 0$ 

여기서, $e$ 는 반발계수로 충돌 전․후의 속도비를 나타낸다.

위의 두 가지 조건 이외에 가속도-시간 모델이 만족시켜야 할 조건은 완전 탄성($e=1$)부터 완전 소성($e=0$)영역까지 사용가능하기 위해 완전 탄성 충돌의 경우($e=1$) 잔류 변형($s_{2} = 0$)이 발생하지 않아야 한다.

위의 조건을 만족시키는 해석 모델이 Macmillan의 가속도-시간 모델로 식 1로 표현된다.

       $f = - \frac{cv_{1}}{t_{2}} (\frac{t}{t_{2}}) (1- \frac{t}{t_{2}})^{\beta}$      (식 1)

여기서, $c$는 충돌 실험에서 구해야 할 무차원 상수이고, $\beta$는 1보다 큰 무차원 지수이다.

식 1은 $t_{1} / t_{2} = T$를 이용하여 식 2로 무차원화 할 수 있다.

       $- \frac{f t_{2}}{v_{1}} = \phi_{f} (T)$      (식 2)

한편, $\phi_{f} (T) = cT(1-T){\beta}$ ($\beta \geq1$ ) 이고 $\frac{\phi_{f} (T)}{c} = (1-T)^{\beta} - (1-T)^{\beta +1}$ 인 점을 감안하면 식 2를 적분하여 식 3과 같이 속도에 관한 함수를 얻을 수 있다.

      $\frac{v}{cv_{1}} = \frac{(1-T)^{\beta +1}}{\beta + 1} - \frac{(1-T)^{\beta +2}}{\beta +2} + A$     (식 3)

적분 상수 $A$를 구하기 위하여 $t=t_{2}$ 에서의 경계조건을 사용하면  $v=v_{2} = -ev_{1}$로 $T=1$ 이 되므로 적분상수는 $A=-e/c$로 결정할 수 있고, 속도에 관한 함수 식 4를 얻을 수 있다.

       $v = v_{1} \phi_{v} (T)$      (식 4)

여기서,

      $\frac{\phi_{v} (T)}{c} = \frac{(1-T)^{\beta +1}}{\beta +1} - \frac{(1-T)^{\beta +2}}{\beta +2} - \frac{e}{c}$

식 4에 충돌 초기($t=0$)의 경계조건($v=v_{1}$)을 적용하면 $c$ 를 식 5와 같이 결정할 수 있게된다.

      $c = (1+e)(\beta +1)(\beta +2)$      (식 5)

따라서, 속도에 관한 무차원 $\phi_{v} (T)$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

      $\phi_{v} (T) = (1+e)[1+(\beta +1)T](1-T)^{\beta +1} -e$      (식 6)

식 4를 적분하면 변형에 관한 식 7을 얻을 수 있다.

      $\frac{s}{v_{1} t_{2}} = -c [ \frac{(1-T)^{\beta +2}}{(\beta +1)(\beta +2)} - \frac{(1-T)^{\beta +3}}{(\beta +2)(\beta +3)}] - eT +B$      (식 7)

식 7에서의 적분상수 $B$는 충돌 초기상태($t=0$)에서의 경계조건($s=0$)을 적용하여 식 8과 같이 결정 할 수 있다.

       $B = \frac{2(1+e)}{\beta +3}$      (식8)

시간에 따른 변형 함수를 이용하여 변형에 관한 식 7을 식 9와 같이 나타낼 수 있다.

       $s = v_{1} t_{2} \phi_{s} (T)$      (식 9)

여기서,

      $\phi_s (T) = \frac{1+e}{\beta +3} \left \{2 - [2+(\beta +1) T](1-T)^{\beta +2} \right \} - eT$

충돌 끝($t=t_{2}$)에서의 경계조건($s=s_{2}$, $T=1$)을 적용하여 $\phi_s (T)$를 구하면 식 10과 같게 된다.

      $\phi_s (1) = \frac{s_{2}}{v_{1} t_{2}} = \frac{2(1+e)}{\beta =3}-e = \phi_{s2} (e)$      (식 10)

식 10에서 $e=1$인 경우 $s_{2}$가 0이기 때문에 $\beta =1$을 항상 만족하여야 함을 알 수 있다. 또한, $e=1$일 때 $\beta$ 가 1이 되어야 하기 때문에 $e$가 0 일때의 $\beta$값을 $\beta_{0}$로 하면 어떤 $e$값에 대해서도 $\beta$는 식 11과 같이 쓸 수 있다.

       $\beta = \beta_{0} - (\beta_0 -1) e$      (식11)

식 11은 $e=0$일 때 $\beta = \beta_{0}$ , $e=1$일 때 $\beta =1$의 값을 준다. 식에서 $\beta_{0}$는 $(\beta - e)/(1-e)$로 쓸 수 있기 때문에 $\beta > 1$에 대해서 $\beta_{0} > 1$이 되어야 한다. $\beta_{0}$는 차량 앞 부분이 연성인지 강성인지를 나타내는 척도로 쓰이며 강성일수록 $\beta_{0}$의 값이 큰데, 보통 승용차의 경우 2가 적당하다.

최대 감가속도가 일어나는 시간 $T_{m} = t_{m} / t_{2}$은 $df/dt =0$ 조건을 이용하여 식 1을 미분함으로서 식 12와 같이 구할 수 있다.

       $T_{m} = \frac{t_{m}}{t_{2}} = \frac{1}{\beta +1}$      (식 12)

따라서, 충돌 차량의 질량을 $m$이라 할 때 최대 하중은 식 13과 같이 계산할 수 있다.

       $P_{m} = m f_{m} = m \frac{v_{1}}{t_{2}} \phi_{f} (T_{m} ) = m \frac{cv_{1}}{t_{2}} \phi_{m} (\beta)$      (식 13)

여기서,

      $\phi_{m} (\beta) = \frac{\phi_{f} (T_{m})}{c} = \frac{\beta^{\beta}}{(\beta +1)^{(\beta +1)}}$

이상 설명한 가속도-시간 모델을 이용하여 충돌 차량의 변형과 흡수 에너지, 탑승자 안전도, 충돌 하중 등을 계산할 수 있다. 가속도-시간 모델을 이용하면 충돌의 운동방정식을 사용할 필요 없이 시간별 충돌 거동을 파악할 수 있게 된다.

베리어 설계에 필요한 주요식과 사용법은 다음과 같다.

       $\beta = \beta_{0} - (\beta_{0} -1 ) e$      (Ⅰ)

       $c = (1+2)(\beta +1)(\beta +2)$      (Ⅱ)

       $\frac{s_{2}}{v_{1} t_{2}} = \frac{2(1+e)}{\beta +3} -e = \phi_{s2} (e, \beta)$      (Ⅲ)

       $P_{m} = \frac{mcv_{1}}{t)_{2}} \phi_{m} (\beta)$      (Ⅳ)

       $\Delta E = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} ( 1-e^{2} )$      (Ⅴ)

 

강체벽 충돌 실험을 실시하는 경우 차량의 질량($m$)과 충돌속도($v_{1}$)는 정확하게 알 수 있고, $s_{2}$ , $t_{2}$ , $v_{2}$를 계측하면 가속도-시간 모델이 완성되어 충돌의 전 과정을 이해 할 수 있게된다. $v_{1}$, $v_{2}$ 가 계측되었으므로 $e$를 계산할 수 있고, (Ⅲ)으로부터 $\beta$와 $\beta_{0}$를 다음과 같이 계산할 수 있다.

      $\beta = \frac{2(1+e)}{e + (s_{2} / v_{1} t_{2})}-3$

      $\beta_{0} = \frac{\beta -e}{1-e}$      from (Ⅰ)

계산된 $e$와 $\beta$로부터 (Ⅱ)를 사용하여 $c$를 구할 수 있게된다. 이제 식 12를 이용하여 최대 감가속도가 일어나는 시간 $T_{m}$을 계산할 수 있고, $f$와 $s$함수의 시간에 $T_{m}$을 대입하여 $\phi_{m}$, $P_{m}$, $s_{m}$를 결정할 수 있다. 최대변형은 속도가 0가 되는 시간 ($\phi_{v} ( t_{0} / t_{2} = 0$)을 이용하여 $T_{0}$를 구함으로서 결정할 수 있다. $P$와 $s$의 함수에 $T$를 $T_{0}$로 대체하여 $t_{0}$에서 $s_{0}$와 $P_{0}$를 구하고, (Ⅴ)를 사용하여 에너지 손실($\Delta E$)을 계산한다.